複二次式の因数分解のやり方と例題5問

複二次式のタイプの因数分解について、詳しく解説します。

パターン１：$x^2=X$ と置くパターン

例題１

$x^4+2x^2-3$ を因数分解せよ。

解答

$x^2=X$ とおくと、
$X^2+2X-3$
となります。これは普通の二次式であり、因数分解できます：
$X^2+2X-3=(X+3)(X-1)$

$X$ を $x$ に戻します：
$(x^2+3)(x^2-1)$

さらに、$x^2-1$ は因数分解できるので、答えは
$(x^2+3)(x+1)(x-1)$

パターン２：平方の差を作るパターン

$x^4$ の項と定数項を見て平方の差を作ります。因数分解の中ではかなり難問の部類です。たくさん問題を解いてコツをつかんでください！

例題２

$x^4+x^2+1$ を因数分解せよ。

解答

$x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2$
と変形できます（この変形が難しい）。

これは平方の差であり、$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ という因数分解公式が使えるので、
$(x^2+1)^2-x^2\\
=(x^2+1+x)(x^2+1-x)$

答えは（順番を整理すると）
$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

練習問題

パターン１とパターン２を混ぜてみました。パターン１を試して無理そうだったらパターン２を考えてみるとよいでしょう。

例題３

$x^4-6x^2+1$ を因数分解せよ。

解答

パターン２です。平方の差を作りましょう。
$x^4-6x^2+1\\
=(x^2-1)^2-4x^2\\
=(x^2-1)^2-(2x)^2$
$=(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)$

例題４

$2x^4+x^2-1$ を因数分解せよ。

解答

パターン１です。$x^2=X$ とおくと、
$2X^2+X-1$
これはたすきがけの因数分解より、
$(2X-1)(X+1)$
つまり
$(2x^2-1)(x^2+1)$

例題５

$25x^4+6x^2+1$ を因数分解せよ。

解答

パターン２です。
$25x^4+6x^2+1\\
=(5x^2+1)^2-4x^2\\
=(5x^2+1)^2-(2x)^2$
$=(5x^2+2x+1)(5x^2-2x+1)$

次回は a^3+b^3+c^3-3abcの因数分解と応用問題２問 を解説します。