正多面体の辺の数と頂点の数の求め方

	面の数	辺の数	頂点の数
正四面体	4	6	4
正六面体	6	12	8
正八面体	8	12	6
正十二面体	12	30	20
正二十面体	20	30	12

この表を全て覚えてもよいですが、求め方を覚える方が楽です。

辺の数の覚え方（求め方）

正四面体の各面は正三角形なので、辺の数はのべ $4\times 3=12$ 本です。しかし、$1$ つの辺は $2$ つの面に接しているので、二重に数えられています（図の青と緑）。

よって、正四面体の辺の数は、$4\times 3\div 2=6$ と計算できます。

正六面体（立方体）は、$6\times 4\div 2=12$
正八面体は、$8\times 3\div 2=12$
正十二面体は、$12\times 5\div 2=30$
正二十面体は、$20\times 3\div 2=30$
のように計算できます。

頂点の数の求め方その1

正四面体の各面は正三角形なので、頂点の数はのべ $4\times 3=12$ 個です。しかし、$1$ つの頂点は $3$ つの面が集まっているので、三重に数えられています。

よって、正四面体の辺の数は、$4\times 3\div 3=4$ と計算できます。

正六面体（立方体）は、$6\times 4\div 3=8$
正八面体は、$8\times 3\div 4=6$
正十二面体は、$12\times 5\div 3=20$
正二十面体は、$20\times 3\div 5=12$
のように計算できます。

頂点の数の求め方その2

実は、どんな多面体でも頂点の数は
辺の数 $-$ 面の数 $+\:2$
で計算することができます。（オイラーの定理）

これを認めてしまえば、簡単に計算できます。

正四面体は、$6-4+2=4$
正六面体は、$12-6+2=8$
正八面体は、$12-8+2=6$
正十二面体は、$30-12+2=20$
正二十面体は、$30-20+2=12$
のように計算できます。

余談

	面の数	辺の数	頂点の数
正四面体	4	6	4
正六面体	6	12	8
正八面体	8	12	6
正十二面体	12	30	20
正二十面体	20	30	12

・正六面体と正八面体は、
辺の数が同じ、面の数と頂点の数が互いに逆

・正十二面体と正二十面体は、
辺の数が同じ、面の数と頂点の数が互いに逆

次回は 正四面体の展開図2種類の書き方と組み立て方 を解説します。