正多面体の辺の数と頂点の数の求め方

面の数 辺の数 頂点の数
正四面体 4 6 4
正六面体 6 12 8
正八面体 8 12 6
正十二面体 12 30 20
正二十面体 20 30 12


この表を全て覚えてもよいですが、求め方を覚える方が楽です。

辺の数の覚え方(求め方)

まずは、正四面体の辺の数を計算してみましょう。

正四面体の各面は正三角形なので、辺の数はのべ $4\times 3=12$ 本です。しかし、$1$ つの辺は $2$ つの面に接しているので、二重に数えられています(図の青と緑)。

正四面体の辺の数

よって、正四面体の辺の数は、$4\times 3\div 2=6$ と計算できます。

同様に、他の正多面体についても、辺の数は
面の数×1つの面に含まれる辺の数÷2
で計算できます。

正六面体(立方体)は、$6\times 4\div 2=12$
正八面体は、$8\times 3\div 2=12$
正十二面体は、$12\times 5\div 2=30$
正二十面体は、$20\times 3\div 2=30$
のように計算できます。

頂点の数の求め方その1

まずは、正四面体の頂点の数を計算してみましょう。

正四面体の各面は正三角形なので、頂点の数はのべ $4\times 3=12$ 個です。しかし、$1$ つの頂点は $3$ つの面が集まっているので、三重に数えられています。

正四面体の頂点の数

よって、正四面体の辺の数は、$4\times 3\div 3=4$ と計算できます。

同様に、他の正多面体についても、頂点の数は
面の数×1つの面に含まれる辺の数÷1つの頂点を共有する面の数
で計算できます。

正六面体(立方体)は、$6\times 4\div 3=8$
正八面体は、$8\times 3\div 4=6$
正十二面体は、$12\times 5\div 3=20$
正二十面体は、$20\times 3\div 5=12$
のように計算できます。

頂点の数の求め方その2

頂点の数を計算する方法は他にもあります!

実は、どんな多面体でも頂点の数は
辺の数 $-$ 面の数 $+\:2$
で計算することができます。(オイラーの定理)

これを認めてしまえば、簡単に計算できます。

正四面体は、$6-4+2=4$
正六面体は、$12-6+2=8$
正八面体は、$12-8+2=6$
正十二面体は、$30-12+2=20$
正二十面体は、$30-20+2=12$
のように計算できます。

余談

表を眺めてみましょう、おもしろいことが分かります!
面の数 辺の数 頂点の数
正四面体 4 6 4
正六面体 6 12 8
正八面体 8 12 6
正十二面体 12 30 20
正二十面体 20 30 12

・正六面体と正八面体は、
辺の数が同じ、面の数と頂点の数が互いに逆

・正十二面体と正二十面体は、
辺の数が同じ、面の数と頂点の数が互いに逆

次:正四面体の展開図2種類の書き方と組み立て方
前:ねじれの位置の意味と直方体、三角柱、五角柱での例

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