二次関数y=ax^2の変化の割合の公式と求め方

$y=ax^2$ において $x=p$ から $x=q$ まで変化するときの変化の割合は、$a(p+q)$

変化の割合の求め方

例題1:二次関数 $y=2x^2$ について、$x=1$ から $x=3$ まで変化するときの変化の割合を求めよ。

解答1(定義から計算する)

$y$ の増加量÷$x$ の増加量のことを変化の割合と言います。
この場合、$x$ の増加量は $3-1=2$
です。

$x=1$ のとき $y=2\cdot 1^2=2$
$x=3$ のとき $y=2\cdot 3^2=18$
なので、$y$ の増加量は $18-2=16$
です。

よって、変化の割合は、$\dfrac{16}{2}=8$ となります。

解答2(公式を使う)

変化の割合の公式 $a(p+q)$ において $a=2$、$p=1$、$q=3$ とすると、
$2(1+3)=8$
となります。公式を使った方が計算が簡単です。

aの値を求める問題

変化の割合から $a$ の値を求める問題も頻出です。

例題2:$y=ax^2$ について、$x$ が $-3$ から $5$ まで増加するときの変化の割合が $-6$ であるとする。このとき $a$ の値を求めよ。

解答1(定義から計算する)

この場合、$x$ の増加量は $5-(-3)=8$
です。

$x=-3$ のとき $y=a\cdot (-3)^2=9a$
$x=5$ のとき $y=a\cdot 5^2=25a$
なので、$y$ の増加量は $25a-9a=16a$
です。

よって、変化の割合は、$\dfrac{16a}{8}=2a$ となります。

これが $-6$ なので、$2a=-6$ です。よって、$a=-3$ となります。

解答2(公式を使う)

公式を使うと、変化の割合は
$a\{5+(-3)\}=2a$
となります。

これが $-6$ なので、$a=-3$ となります。

公式の証明

$y=ax^2$ において $x=p$ から $x=q$ まで変化するとき、

$x$ の増加量は $q-p$ です。
また、$y$ の増加量は $aq^2-ap^2$ です。

よって、変化の割合は、
$\dfrac{aq^2-ap^2}{q-p}$
となります。分子を因数分解すると、

$\dfrac{a(q^2-p^2)}{q-p}\\
=\dfrac{a(q+p)(q-p)}{q-p}\\
=a(p+q)$
となります。

$q-p$ が分母と分子に登場するので約分できてきれいな公式になりました。覚えておきましょう。

ちなみに、変化の割合は「平均変化率」とも呼ばれます。

次:3点を通る二次関数の決定(例題2問)
前:bが偶数の場合の解の公式

スポンサーリンク

スポンサーリンク

誤植がございましたら @mathwordsnet までご連絡をお願いいたします。
ページ上部へ戻る