与えられた3点を通る二次関数を求める問題は、3点の座標を代入して、連立方程式を解く。
3点を通る二次関数を決定する
与えられた条件を満たす二次関数を求める問題を「二次関数の決定」と言います。
3点を通る二次関数の決定問題を解いてみましょう。
例題１
3つの点 $(-1,8)$、$(0,3)$、$(1,0)$ を通る二次関数を求めよ。
解答
求める二次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおきます。 $a,b,c$ を求めるのが目標です。
まず、$(-1,8)$ を通るので、$x=-1$、$y=8$ を代入すると、
$8=a(-1)^2+b(-1)+c$
つまり、
$8=a-b+c$ ・・・（１）
同様に、$(0,3)$ を通るので、
$3=c$ ・・・（２）
同様に、$(1,0)$ を通るので、
$0=a+b+c$ ・・・（３）
この3つの条件式から $a$、$b$、$c$ を求めます。（２）の $c=3$ を（１）と（３）に代入すると、
$8=a-b+3$
$0=a+b+3$
この2式を加えると、$8=2a+6$ となるので、$a=1$
また、上の2式を引き算すると、$8=-2b$ となるので、$b=-4$
結果をまとめると、$a=1$、$b=-4$、$c=3$
よって、答えは $y=x^2-4x+3$
別の例
例題２
3つの点 $(1,0)$、$(-3,0)$、$(2,-10)$ を通る二次関数を求めよ。
解答
例題１と同じく、求める二次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおきます。
まず、$(1,0)$ を通るので、$x=1$、$y=0$ を代入すると、
$0=a+b+c$ ・・・（１）
同様に、$(-3,0)$ を通るので、
$0=9a-3b+c$ ・・・（２）
同様に、$(2,-10)$ を通るので、
$-10=4a+2b+c$・・・（３）
この3つの条件式から $a$、$b$、$c$ を求めます。今回は連立方程式を解くのが少し大変です。まず（２）ー（１）より、
$0=8a-4b$ ・・・（４）
また、（３）ー（１）より、
$-10=3a+b$ ・・・（５）
（４）＋（５）×４より、
$-40=8a+12a$
よって、$-40=20a$、$a=-2$
これと（４）より $b=-4$
これと（１）より $c=6$
よって、答えは $y=-2x^2-4x+6$
裏技（例題２の別解）
例題２は連立方程式を解くのがめんどうでしたが、
$x$ 軸と、$(p,0)$ および $(q,0)$ で交わる二次関数は $y=A(x-p)(x-q)$ と置くことができることを利用すればもっと簡単に解けます。
例題２の場合、$(1,0)$ と $(-3,0)$ で $x$ 軸と交わるので、
$y=A(x-1)(x+3)$ とおけます。
これが $(2,-10)$ を通るので、
$-10=A(2-1)(2+3)$
$-10=A\times 5$
よって $A=-2$ となるので、答えは
$y=-2(x-1)(x+3)$
つまり、
$y=-2x^2-4x+6$
次回は 座標平面の意味と関連する用語 を解説します。
