反射律、対称律、推移律の意味と例

反射律、対称律、推移律について解説します。$R$ を二項関係とします。
このページでは、5つの例について説明します。

$=$ $\geq$ $>$ 空っぽ(後述の例A) 後述の例B
反射律 × ×
対称律 × ×
推移律 ×

反射律の意味と例

「全ての $x$ に対して $xRx$」が成り立つとき、$R$ は反射律を満たす、と言います。

・全ての実数 $x$ に対して $x=x$
なので、$=$ は反射律を満たします。

・全ての実数 $x$ に対して $x\geq x$ なので、$\geq$ は反射律を満たします。

・$x> x$ は成立しないので、$>$ は反射律を満たしません。

対称律の意味と例

「$xRy$ ならば $yRx$」が成り立つとき、$R$ は対称律を満たす、と言います。

・$x=y$ ならば $y=x$
なので、$=$ は対称律を満たします。

・$x\geq y$ ならば $y\geq x$
は成立するとは限らないので、$\geq$ は対称律を満たしません。

・同様に、$>$ も対称律を満たしません。

推移律の意味と例

「$xRy$ かつ $yRz$ ならば $xRz$」が成り立つとき、$R$ は推移律を満たす、と言います。

・$x=y$ かつ $y=z$ ならば $x=z$
なので、$=$ は推移律を満たします。

・$x\geq y$ かつ $y\geq z$ ならば $x\geq z$ なので、$\geq$ は推移律を満たします。

・同様に、$>$ も推移律を満たします。

他の例

$=$ $\geq$ $>$ 空っぽ(後述の例A) 後述の例B
反射律 × ×
対称律 × ×
推移律 ×

例A:対称律と推移律を満たすが反射律は満たさない例
要素が空である二項関係(例えば、正の実数に対して、足したらマイナスになるものを集めた二項関係)$R$ について考えてみましょう。
すると、そもそも $xRy$ となる $x$ と $y$ は存在しないので、$R$ は対称律と推移律を満たします。しかし、要素が空なので、反射律は満たしません。

例B:反射律と対称律を満たすが推移律は満たさない例
表のように、$\{a,b,c\}$ 上で定義された二項関係について考えてみましょう。

$a$ $b$ $c$
$a$ ×
$b$
$c$ ×

これは、対角成分が◯なので反射律を満たします。また、対角成分に関して対称なので、対称律も満たします。しかし、$aRb$ かつ $bRc$ ですが $aRc$ ではないので推移律は満たしません。

このように、集合の要素数が少ないときには、二項関係の表を書けば、反射律と対称律を満たすかどうかが簡単に確認できます。

ちなみに、反射律、対称律、推移律の全てを満たす二項関係を同値関係と言います。

次:半順序集合と全順序集合の意味と例
前:編集距離(レーベンシュタイン距離)の求め方

スポンサーリンク

スポンサーリンク

誤植がございましたら @mathwordsnet までご連絡をお願いいたします。
ページ上部へ戻る