反射律、対称律、推移律の意味と例

反射律、対称律、推移律について解説します。$R$ を二項関係とします。

	$=$	$\geq$	$>$	空っぽ（後述の例A）	後述の例B
反射律	◯	◯	×	×	◯
対称律	◯	×	×	◯	◯
推移律	◯	◯	◯	◯	×

このページでは、５つの例について説明します。

反射律の意味と例

・全ての実数 $x$ に対して $x=x$
なので、$=$ は反射律を満たします。

・全ての実数 $x$ に対して $x\geq x$ なので、$\geq$ は反射律を満たします。

・$x> x$ は成立しないので、$>$ は反射律を満たしません。

対称律の意味と例

・$x=y$ ならば $y=x$
なので、$=$ は対称律を満たします。

・$x\geq y$ ならば $y\geq x$
は成立するとは限らないので、$\geq$ は対称律を満たしません。

・同様に、$>$ も対称律を満たしません。

推移律の意味と例

・$x=y$ かつ $y=z$ ならば $x=z$
なので、$=$ は推移律を満たします。

・$x\geq y$ かつ $y\geq z$ ならば $x\geq z$ なので、$\geq$ は推移律を満たします。

・同様に、$>$ も推移律を満たします。

他の例

	$=$	$\geq$	$>$	空っぽ（後述の例A）	後述の例B
反射律	◯	◯	×	×	◯
対称律	◯	×	×	◯	◯
推移律	◯	◯	◯	◯	×

例A：対称律と推移律を満たすが反射律は満たさない例
要素が空である二項関係（例えば、正の実数に対して、足したらマイナスになるものを集めた二項関係）$R$ について考えてみましょう。
すると、そもそも $xRy$ となる $x$ と $y$ は存在しないので、$R$ は対称律と推移律を満たします。しかし、要素が空なので、反射律は満たしません。

例B：反射律と対称律を満たすが推移律は満たさない例
表のように、$\{a,b,c\}$ 上で定義された二項関係について考えてみましょう。

	$a$	$b$	$c$
$a$	◯	◯	×
$b$	◯	◯	◯
$c$	×	◯	◯

これは、対角成分が◯なので反射律を満たします。また、対角成分に関して対称なので、対称律も満たします。しかし、$aRb$ かつ $bRc$ ですが $aRc$ ではないので推移律は満たしません。

このように、集合の要素数が少ないときには、二項関係の表を書けば、反射律と対称律を満たすかどうかが簡単に確認できます。

ちなみに、反射律、対称律、推移律の全てを満たす二項関係を同値関係と言います。

次回は 剰余類の意味（高校数学および群論）と２つの姿 を解説します。