半減期の意味と、典型的な計算問題3問を解説

ある量 $X$ が(後述する指数関数に従って)徐々に減っていくとき、半分になるまでにかかる時間を半減期と言います。

半減期とは

放射性元素が崩壊していく現象を考えます。
放射性元素

時刻 $t$ で崩壊せずに残っている原子の個数 $X(t)$ は、
$X(t)=X_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_0}}$
という式で表されます。$X_0$ と $t_0$ は定数です。

半減期の意味を理解するためのグラフ

どの時点についても、そこから時刻が $t_0$ だけ経過すると $X$ はちょうど半分になるので、$t_0$ のことを半減期と言います。

また、放射性元素以外でも、ある量 $X$ の時刻 $t$ での量が、上の赤い式のように表されるとき、$t_0$ を半減期と言います。例えば、体内の薬の濃度なども上の赤い式で表現できる場合があります。

1.半減期を使った時間の計算

半減期に関する計算問題は、$X(t)=X_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_0}}$ という式を使えば全て解けます。

半減期が $3$ 時間のとき、$\dfrac{1}{10}$ になるまでにかかる時間 $t$ を計算してみましょう。

$X(t)=X_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_0}}$
において、$t_0=3$、$\dfrac{X(t)}{X_0}=\dfrac{1}{10}$ とすると、
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3}}=\dfrac{1}{10}$
となります。

両辺、2を底とする対数を取ると、
$-\dfrac{t}{3}=-\log_2 10$
となります。よって、$t=3\log_2 10$ となります。
$\log_2 10\fallingdotseq 3.32$ なので、$t\fallingdotseq 9.96$ 時間になります。
※例えば、Google の検索窓に「log2 10」と入力すると対数の計算ができます。

2.半減期の計算

放射性元素の原子の数が、5年で $\dfrac{1}{100}$ になったとき、この放射性元素の半減期を計算してみましょう。

$X(t)=X_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_0}}$
において $t=5$、$\dfrac{X(t)}{X_0}=\dfrac{1}{100}$ とすると、
$\dfrac{1}{100}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{5}{t_0}}$
となります。

両辺、2を底とする対数を取ると、
$-\log_2 100=-\dfrac{5}{t_0}$
$t_0=\dfrac{5}{\log_2 100}$
となります。対数を近似して計算すると、$t_0\fallingdotseq 0.752$ 年となります。

3.半減期を使った量の計算

半減期 $2$ 年のある量が $1024$ であるとき、$14$ 年経過すると、その量はいくつになるか。

$X(t)=X_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_0}}$
において $t_0=2$、$X_0=1024$、$t=14$ とすると、
$X(14)=1024\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{7}=8$
となります。

次回は 指数関数の知識全5項目を整理(具体例からグラフまで) を解説します。

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