判別式の意味と実数解の個数の求め方

二次方程式の判別式 $D$ について整理しました。判別式の計算例意味判別式の符号と実数解の個数$\dfrac{D}{4}$ の意味について詳しく解説します。

判別式とは

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ に対して、$b^2-4ac$ のことを判別式と言います。

例えば、二次方程式
$2x^2+6x-1=0$
の判別式は、$a=2,b=6,c=-1$ なので、
$D=6^2-4\cdot 2\cdot(-1)=36+8=44$
のように計算できます。

なお、判別式を表す際には、上記のように $D$ という記号が使われることが多いです。

判別式の意味

判別式は、二次方程式の解の公式のルートの中身です。

二次方程式の解の公式を思い出してみましょう:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

この、ルートの中身 $b^2-4ac$ こそが判別式 $D$ です。

そして、解の公式から、以下のことが分かります:
ルートの中身 $D$ が正のとき、実数解は2つです。
ルートの中身 $D$ が $0$ のとき、実数解は1つ(重解)です。
ルートの中身 $D$ が負のとき、実数解は存在しません。

判別式の符号と実数解の個数

さきほどの結果を整理します:
判別式 $D$ が正 → 実数解2つ
判別式 $D$ が $0$ → 実数解1つ(重解)
判別式 $D$ が負 → 実数解なし
です。

つまり、二次方程式の実数解の個数は、判別式 $D$ の符号から分かります。

例えば、二次方程式
$2x^2+6x-1=0$
の判別式は、
$D=6^2-4\cdot 2\cdot(-1)=44 >0$
でした。つまり、判別式が正なので、実数解が2つあることが分かります。

D/4 の意味

判別式 $D$ の代わりに、$\dfrac{D}{4}$ を使うことがあります。

判別式は $D=b^2-4ac$ でしたが、
$b’=\dfrac{b}{2}$ とおくと、
$\dfrac{D}{4}={b’}^2-ac$
と書くこともできます。そして、判別式 $D$ の符号は、$\dfrac{D}{4}$ の符号と同じです。

よって、
$\dfrac{D}{4}$ が正 → 実数解2つ
$\dfrac{D}{4}$ が $0$ → 実数解1つ(重解)
$\dfrac{D}{4}$ が負 → 実数解なし
が成立します。

例えば、二次方程式
$2x^2+6x-1=0$
の判別式を $D$ とすると、$a=2,b=3,c=-1$ なので、
$\dfrac{D}{4}=3^2-2\cdot(-1)=11$
です。よって $\dfrac{D}{4}$ が正なので、実数解が2つであることが分かります。

このように $b$ が偶数の場合には、判別式 $D$ よりも、$\dfrac{D}{4}$ を計算するほうが楽です。

次回は 二次関数y=ax^2の変化の割合の公式と求め方 を解説します。

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