行列 $A$ の $ij$ 成分を $a_{ij}$ と書きます。
$A,B$ を $n\times n$ 行列、$C$ を $m\times m$ 行列とします。
～成分表示～
$n=2$ のとき、
$\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
（$2\times 2$ 行列の行列式）
$n=3$ のとき、
$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}$
$-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$
（$3\times 3$ 行列の行列式）
～基本変形と行列式～
二つの行を交換すると、行列式は $-1$ 倍される。
二つの列を交換すると、行列式は $-1$ 倍される。
ある行を $k$ 倍すると行列式も $k$ 倍になる。
ある列を $k$ 倍すると行列式も $k$ 倍になる。
$\det kA=k^n\det A$
ある行の定数倍を他の行に加えても行列式は変わらない。
ある列の定数倍を他の列に加えても行列式は変わらない。
同じ行が2つ以上ある行列の行列式は $0$
同じ列が2つ以上ある行列の行列式は $0$
～いろいろな行列の行列式～
$\det I=1$
（単位行列の行列式は $1$）
$\det U=1$
（直交行列、ユニタリー行列の行列式は $1$）
$\det A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}$
（逆行列の行列式はもとの行列の行列式の逆数）
$\det A^k=(\det A)^k$
（べき乗の行列式はもとの行列の行列式のべき乗）
$\det A^{\top}=\det A$
（転値しても行列式は変わらない）
対角行列の行列式は、対角成分の積と等しい。
上三角行列の行列式は、対角成分の積と等しい。
下三角行列の行列式は、対角成分の積と等しい。
～ブロック行列～
$\det\begin{pmatrix}A&P\\O&C\end{pmatrix}=\det A\det C$
$\det\begin{pmatrix}A&O\\Q&C\end{pmatrix}=\det A\det C$
$\det\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}=\det(A+B)\det(A-B)$
（$A,B$ は $n\times n$ 行列、$C$ は $m\times m$ 行列、$O$ の各成分は $0$）
～積の行列積～
$\det AB=\det A\det B$
（積の行列式は行列式の積）
$P$ が $m\times n$、$Q$ が $n\times m$ 行列で $m\leq n$ のとき、
$\det PQ=\displaystyle\sum_{I\subseteq \{1,2,\cdots,n\},|I|=m} \det P_I\det Q_I$
（コーシービネの公式）
～その他～
$\det A=$ 全ての $A$ の固有値の積
追記（20170428）：公式に誤りがあったため修正しました。教えていただきありがとうございました。
次回は 行列の余因子の意味、計算例、逆行列との関係 を解説します。
