分配法則の意味と図を使った説明

$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$
$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$
という法則を分配法則と言う。

具体例

~整数の例~
$3\times (2+1)=3\times 2+3\times 1$(どちらも $9$)
$(5+1)\times 4=5\times 4+1\times 4$(どちらも $24$)

~分数が混ざった例~
$6\times \left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)=6\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{3}$(どちらも $3$)
→分数のかけ算→分数の足し算、引き算

なお、分配法則を使って式のかっこを外すことを、展開すると言います。

割り算バージョン

分配法則のかけ算を割り算にしたバージョンは、片方だけ成立します:
不成立:$a\div (b+c)=a\div b+a\div c$
成立:$(a+b)\div c=a\div c+b\div c$

分数の形で書くと、$\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}$ は間違いで、$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$ は正しいというわけです。

図形的意味

分配法則が正しいことは、長方形の図を書くと納得しやすいです。

分配法則の意味

大きな長方形の面積を、二つに分けて考える(赤と緑)と $a\times b+a\times c$ になり、まとめて考える(青)と $a\times (b+c)$ となります。どちらも同じものを表しているので、結局 $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ が成立するというわけです。

分配法則の証明

足し算の順番が交換できることを使って、分配法則を導いてみます。

例として、$3\times (5+7)=3\times 5+3\times 7$ を導いてみます。

$3\times (5+7)$ というのは、$5+7$ が三個分であることを表しています。よって、
$3\times (5+7)\\
=(5+7)+(5+7)+(5+7)\\
=(5+5+5)+(7+7+7)$
(足し算は順番を入れ替えてもOK→交換法則と結合法則
$=3\times 5+3\times 7$
となります。

※厳密には分配法則は実数の公理なので「証明」という言葉は不適切かもしれません。

なお、分配法則は小学生で習いますが、中学数学、高校数学でも式を展開するときに、繰り返しお世話になります。

次:交換法則、結合法則、分配法則
前:速さ、時間、距離を計算する公式の使い方と覚え方

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