ベクトルのなす角度の計算(2次元、3次元)と検算ツール

なす角

2つのベクトルで挟まれた部分の角度(ベクトルのなす角)の計算方法を解説します。

2次元(平面)ベクトルのなす角

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)$ と $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$ のなす角を $\theta$ とすると、
$\cos\theta=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

例えば、$\overrightarrow{a}=(2,1)$ と $\overrightarrow{b}=(1,3)$ のなす角 $\theta$ を求めてみましょう。

公式より、
$\cos\theta=\dfrac{2\cdot 1+1\cdot 3}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{1^2+3^2}}\\
=\dfrac{5}{\sqrt{50}}\\
=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
となります。よって、$\theta=45^{\circ}$ です。

3次元(空間ベクトル)のなす角

3次元の場合もほとんど同じです。

例えば $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ と $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のなす角を $\theta$ とすると、
$\cos\theta=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$
となります。

公式が成り立つ理由

空間ベクトルの場合の公式を導出してみます。2次元の場合も同様です。

ベクトルの内積は、長さとなす角 $\theta$ を使って表すと、
$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$
です。

一方、成分を使って表すと、
$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
です。

この2つの量が等しいので、
$\cos\theta=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$
つまり、
$\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$
となります。

角度計算ツール

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ と $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のなす角 $\theta$ を計算してくれるツールです。平面ベクトルの場合は、$a_3=b_3=0$ としてください。
$a_1$:
$a_2$:
$a_3$:
$b_1$:
$b_2$:
$b_3$:
なす角 $\theta$:

※あくまで計算の確認程度にお使いください。

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