等差数列の一般項の求め方の証明と例題

等差数列について、
(第 $n$ 項)=(初項)$+(n-1)\times$(公差)

~目次~
・公式の証明
・例題2問
・補足、まめ知識

公式の証明

等差数列とは、
$3,5,7,9,11\cdots$

$-1,-4,-7,-10,-13\cdots$
のように「同じ数」ずつ増えていく(または減っていく)数列のことです。

この「同じ数」のことを公差と言います。

2番目の数は(初項)+(公差)
3番目の数は(初項)+(公差)×2
4番目の数は(初項)+(公差)×3
と表せますね。

より一般に、$n$ 番目の数は初項に「同じ数」(つまり変化量)を $(n-1)$ 回ぶん足せば得られます。よって、
(第 $n$ 項)=(初項)$+(n-1)\times$(公差)
となります。

基本的な例題2問

例題1:初項が $3$、公差が $2$ である等差数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

解答

公式より、
$a_n=3+(n-1)\times 2\\
=3+2n-2$
$=2n+1$

例題2:$a_1=9$、$a_6=-6$ である等差数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

解答

初項は $9$ ですが、公差は与えられていません。そこで、公差を $d$ といおいてみます。すると、一般項は、
$a_n=9+(n-1)d$
となります。これに $n=6$ を代入すると、
$-6=9+5d$
となります。$d$ について解くと、
$5d=-15$
$d=-3$
となります。

よって、一般項は
$a_n=9+(n-1)\times (-3)\\
=9-3n+3$
$=-3n+12$

補足、まめ知識

・等差数列の一般項は、定数 $A$ と $B$ を使って $a_n=An+B$ と表すことができます。なんとなく一次関数に似ていますね。一次関数は中学数学でも習う、いわば「最も基本的な関数」です。同様に、等差数列は数列の最初に習う「最も基本的な数列」と言うことができます。

・逆に、一般項が $a_n=An+B$ という形で表せる数列 $\{a_n\}$ は等差数列です。例えば、一般項が $a_n=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{1}{3}$ という数列は、初項が $1$、公差が $\dfrac{2}{3}n$ である等差数列になります。分数が入っても同じです。

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