grad、div、rotの定義と意味

ベクトル解析の基本的な道具である、grad、div、rot について説明します。

grad（勾配）の定義と例

ただし、$f$ は３変数 $(x,y,z)$ の関数とします。
勾配は、それぞれの変数で偏微分したものを成分に持つベクトルです。

例えば、$f=x+y^2+z^3$
のとき、勾配ベクトルは、
$\mathrm{grad}\:f=(1,2y,3z^2)$
となります。

勾配ベクトルの $x$ 成分は、その点で $x$ 軸の向きに少しだけ進んだら、$f$ がどれくらい増えるかを表します。$y$ 成分、$z$ 成分も同様です。

div（発散）の定義と例

ただし、$V=(V_x,V_y,V_z)$ はベクトル場とします。つまり、$V_x,V_y,V_z$ はそれぞれ $(x,y,z)$ の関数です。

発散は実数（スカラー）です。

例えば、
$V=(x+y+z,x^2+y^2+z^2,x^3+y^3+z^3)$
のとき、発散は、
$\mathrm{div}\:V=1+2y+3z^2$
となります。

発散の意味（イメージ）

この解釈を説明します。一辺の長さが $\Delta x$、$\Delta y$、$\Delta z$ である直方体を考えてみます。

この直方体から、$x$ 方向にあふれ出ている量は、
$V_x(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z-V_x(x,y,z)\Delta y \Delta z\\
\fallingdotseq\dfrac{\partial V_x}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z$
とみなせます。

同様に、$y$ 方向にあふれている量は、
$\dfrac{\partial V_y}{\partial y}\Delta x\Delta y\Delta z$
で、$z$ 方向にあふれている量は、
$\dfrac{\partial V_z}{\partial z}\Delta x\Delta y\Delta z$
とみなせます。よって、あふれている量は、全部で、
$\mathrm{div}\:V\Delta x\Delta y\Delta z$
とみなせます。「単位体積あたり」に直すため $\Delta x\Delta y\Delta z$ で割ると、$\mathrm{div}\:V$ になります。

rot（回転）の定義と例

ただし、$V=(V_x,V_y,V_z)$ はベクトル場とします。つまり、$V_x,V_y,V_z$ はそれぞれ $(x,y,z)$ の関数です。

回転はベクトルです。

例えば、
$V=(x+y+z,x^2+y^2+z^2,x^3+y^3+z^3)$
のとき、回転の $x$ 成分は、
$\dfrac{\partial V_z}{\partial y}-\dfrac{\partial V_y}{\partial z}=3y^2-2z$
となります。$y$ 成分、$z$ 成分も同様に計算できます。

回転の意味（イメージ）

$x$ 成分、$y$ 成分も同様です。この解釈について説明します。

一辺の長さが $\Delta x$、$\Delta y$、$\Delta z$ である直方体を考えてみます。

緑の矢印と青い矢印が、$z$ 軸の正の向きにねじを回す力と考えられます。この「力」の大きさは、

$V_y(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z-V_y(x,y,z)\Delta y\Delta z$
$-V_x(x,y+\Delta y,z)\Delta x\Delta z+V_x(x,y,z)\Delta x\Delta z$
$\fallingdotseq\dfrac{\partial V_y}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z-\dfrac{\partial V_x}{\partial y}\Delta x\Delta y\Delta z$
とみなせます。

体積 $\Delta x\Delta y\Delta z$ で割れば、単位体積あたりの「ねじを回す力」が$\dfrac{\partial V_y}{\partial x}-\dfrac{\partial V_x}{\partial y}$
であることが確認できます。

次回は ナブラ演算子∇の４つの意味と計算公式 を解説します。