無限級数（無限和）の公式集

収束と発散

・特定の値に限りなく近づいていくとき、無限級数は収束すると言います。
・そうでないとき、無限級数は発散すると言います。

無限級数の公式集

無限等比級数
$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=a+ar+ar^2+\cdots $$=\dfrac{a}{1-r}$
（ただし、$|r| < 1$）

無限等比級数の応用
$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}kr^k=r+2r^2+3r^3+\cdots $$=\dfrac{r}{(1-r)^2}$
（ただし、$|r| < 1$）

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^2r^k=r+4r^2+9r^3+\cdots $$=\dfrac{r+r^2}{(1-r)^3}$
（ただし、$|r| < 1$）
（ここまで高校数学の範囲）

テイラー展開（マクローリン展開）
$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^k}{k!}$$=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots =e^x$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}$
$=x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+\cdots =\sin x$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}$
$=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\cdots =\cos x$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}x^k}{k}$
$=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots $$=\log(1+x)$
（ただし、$-1 < x\leq 1$）

逆数のべき乗の和（ゼータ関数）
$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots =\dfrac{\pi^2}{6}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^4}=\dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\cdots =\dfrac{\pi^4}{90}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^6}=\dfrac{1}{1^6}+\dfrac{1}{2^6}+\dfrac{1}{3^6}+\cdots =\dfrac{\pi^6}{945}$

発散する無限級数
$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots=\infty$

次回は 無限等比級数の公式の例題と証明 を解説します。