数列の和から一般項を求める方法と例題

簡単な例題

例題

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=n^2$ であるとき、この数列の一般項を求めよ。

解答

$a_n=S_n-S_{n-1}$（→補足）
なので、
$a_n=n^2-(n-1)^2\\
=n^2-(n^2-2n+1)\\
=2n-1$

となります。ただし、$a_n=S_n-S_{n-1}$ という公式は $n\geq 2$ のときに成り立つ公式です。
よって、$n=1$ のときは $a_1=S_1$ を使う必要があります：
$a_1=S_1=1$
（これは上の結果に $n=1$ を代入したものと一致します）

以上をまとめると、一般項は $a_n=2n-1$

補足：（$n$ 番目まで足したもの）から（$n-1$ 番目まで足したもの）を引くと $n$ 番目になるというわけです。

場合分けが重要になる例題

例題

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=3^n$ であるとき、この数列の一般項を求めよ。

解答

$a_n=S_n-S_{n-1}$
なので、
$a_n=3^n-3^{n-1}\\
=3^{n-1}(3-1)\\
=2\cdot 3^{n-1}$

となります。ただし、$a_n=S_n-S_{n-1}$ という公式は $n\geq 2$ のときに成り立つ公式です。
よって、$n=1$ のときは $a_1=S_1$ を使う必要があります：
$a_1=S_1=3^1=3$
（これは上の結果に $n=1$ を代入したものと一致しません）

以上をまとめると、一般項は
$a_1=3$、$a_n=2\cdot 3^{n-1}\:(n\geq 2)$

まめ知識、補足

・数列の和 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ のことを部分和と呼びます。
・場合分けを忘れると大減点されるでしょう。
・解き方を覚えてしまえばワンパターンなので難しくない問題です。問題も作りやすいので定期テストに出る可能性大です、しっかりマスターしましょう！

次回は 内接円の半径を求める公式 を解説します。