テンソルの大雑把な意味と正確な定義を紹介します。テンソルと多次元配列の違いについても解説します。
テンソルの大雑把な意味
０次元配列（１つの数字）のことをスカラー、
１次元配列 $(a_1,\dots,a_n)$ のことをベクトル、
２次元配列
$\begin{pmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{pmatrix}$
のことを行列、
と言うことがあります。
これらを一般化した $N$ 次元配列のことを、$N$ 階のテンソルと呼ぶことがあります。
tensorflow などの深層学習のフレームワークを使う際には、多次元配列を扱うことが多く、この多次元配列をテンソルと呼ぶことがあります。ただし、正確には「テンソル」と「多次元配列」は異なるものです。
テンソルと多次元配列の違い
多次元配列は、単純に数字をたくさん（立方体の各マスに）並べたものです。
一方、テンソルは正確に定義するのがけっこう大変な「数学的なオブジェクト」です。大雑把には、テンソルとは「基底を定めれば多次元配列が定まり、その多次元配列の成分は基底の変換規則に従う」ような関数と言えます。
テンソルの正確な定義
テンソルの定義：
p階反変q階共変テンソルとは、
$n$ 次元のベクトル空間の各基底 $e=(e_1,\dots, e_n)$ に対して，$(p+q)$ 次元の配列 $T_{j_1,\dots,j_q}^{i_1,\dots,i_p}(e)$ を対応させる関数であって，
基底を $e$ から $eR$ に取り替えたときに、多次元配列の成分が
$T_{j’_1,\dots,j’_q}^{i’_1,\dots,i’_p}(eR)\\
=\displaystyle\sum_{i_1,\dots,i_p,j_1,\dots,j_q}(R^{-1})_{i_1}^{i’_1}\dots(R^{-1})_{i_p}^{i’_p}T_{j_1,\dots,j_q}^{i_1,\dots,i_p}(e)R_{j’_1}^{j_1}\dots R_{j’_q}^{j_q}$
のように変換されるようなものです。
これだけでは分かりにくいので、
1階反変テンソル、
1階反変1階共変テンソル
の具体例を見てみましょう。
例1.「普通の」ベクトル
このベクトル $\overrightarrow{v}$ は、基底 $e=(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$ を定めれば、2つの実数 $(T^1,T^2)$ で表現できます：
$\overrightarrow{v}=T^1\overrightarrow{e_1}+T^2\overrightarrow{e_2}\\
=(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})\begin{pmatrix}T^1\\T^2\end{pmatrix}$
そして、基底を
$(\overrightarrow{e’_1},\overrightarrow{e’_2})=(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})R$
のように変換すると、
$\overrightarrow{v}=(\overrightarrow{e’_1},\overrightarrow{e’_2})R^{-1}\begin{pmatrix}T^1\\T^2\end{pmatrix}$
となるので、新しい基底での成分は
$R^{-1}\begin{pmatrix}T^1\\T^2\end{pmatrix}$
となります。
つまり、平面上の「普通の」ベクトルは以下の２つを満たすので、1階反変テンソルと言えます。
・基底を決めると１次元配列（成分を並べたもの）が決まる
・$p=1,q=0$ の場合の成分の変換規則：
$T^{i’_1}(eR)=\displaystyle\sum_{i_1}(R^{-1})_{i_1}^{i’_1}T^{i_1}(e)$
を満たす
例2. 線形写像
線形写像は、基底を決めると表現行列 $A$ が定まります。
そして、基底を変換する（基底の変換行列を $R$ とする）と、新しい基底での表現行列は $R^{-1}AR$ となります。詳しくは 相似変換の意味、表現行列や基底の変換行列との関係を整理 に記載しています。
よって、線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる
・$p=q=1$ の場合の成分の変換規則を満たす
