二次方程式の判別式 $D$ について整理しました。判別式の計算例、意味、判別式の符号と実数解の個数、$\dfrac{D}{4}$ の意味について詳しく解説します。
判別式とは
例えば、二次方程式
$2x^2+6x-1=0$
の判別式は、$a=2,b=6,c=-1$ なので、
$D=6^2-4\cdot 2\cdot(-1)=36+8=44$
のように計算できます。
なお、判別式を表す際には、上記のように $D$ という記号が使われることが多いです。
判別式の意味
二次方程式の解の公式を思い出してみましょう：
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
この、ルートの中身 $b^2-4ac$ こそが判別式 $D$ です。
そして、解の公式から、以下のことが分かります：
ルートの中身 $D$ が正のとき、実数解は２つです。
ルートの中身 $D$ が $0$ のとき、実数解は１つ（重解）です。
ルートの中身 $D$ が負のとき、実数解は存在しません。
判別式の符号と実数解の個数
さきほどの結果を整理します：
判別式 $D$ が正 → 実数解２つ
判別式 $D$ が $0$ → 実数解１つ（重解）
判別式 $D$ が負 → 実数解なし
です。
例えば、二次方程式
$2x^2+6x-1=0$
の判別式は、
$D=6^2-4\cdot 2\cdot(-1)=44 >0$
でした。つまり、判別式が正なので、実数解が２つあることが分かります。
D/4 の意味
判別式は $D=b^2-4ac$ でしたが、
$b’=\dfrac{b}{2}$ とおくと、
$\dfrac{D}{4}={b’}^2-ac$
と書くこともできます。そして、判別式 $D$ の符号は、$\dfrac{D}{4}$ の符号と同じです。
よって、
$\dfrac{D}{4}$ が正 → 実数解２つ
$\dfrac{D}{4}$ が $0$ → 実数解１つ（重解）
$\dfrac{D}{4}$ が負 → 実数解なし
が成立します。
例えば、二次方程式
$2x^2+6x-1=0$
の判別式を $D$ とすると、$a=2,b=3,c=-1$ なので、
$\dfrac{D}{4}=3^2-2\cdot(-1)=11$
です。よって $\dfrac{D}{4}$ が正なので、実数解が２つであることが分かります。
このように $b$ が偶数の場合には、判別式 $D$ よりも、$\dfrac{D}{4}$ を計算するほうが楽です。
次回は 二次関数y=ax^2の変化の割合の公式と求め方 を解説します。
