各桁の和が３の倍数なら３の倍数、の証明

３の倍数の判定法とは

$8+1+6=15$ です。15は３の倍数なので、もとの数 $816$ も３の倍数であることが分かります。
このように、各桁の和を計算することで、もとの数 $816$ を直接わり算しなくても、$816$ が３の倍数なのかどうかを、素早く知ることができます。

３桁の場合の証明

３桁の数は、
$1$ の位を $a_0$、
$10$ の位を $a_1$、
$100$ の位を $a_2$
とおくと、

$100a_2+10a_1+a_0$
と表すことができます。

これを変形していくと、
$100a_2+10a_1+a_0\\
=(99a_2+a_2)+(9a_1+a_1)+a_0\\
=(99a_2+9a_1)+(a_2+a_1+a_0)\\
=3(33a_2+3a_1)+(a_2+a_1+a_0)$
となります。

$3(33a_2+3a_1)$ の部分は必ず３の倍数なので、
各桁の和 $(a_2+a_1+a_0)$ が３の倍数となるなら、
もとの数 $100a_2+10a_1+a_0$ も３の倍数となる
ことが分かります。

一般の場合の証明

$N$ 桁の数は、
$1$ の位を $a_0$、
$10$ の位を $a_1$、
$\vdots$
$10^{N-1}$ の位を $a_{N-1}$
とおくと、

$10^{N-1}a_{N-1}+\dots +10a_1+a_0$
と表すことができます。

これを変形していくと、
$10^{N-1}a_{N-1}+\dots +10a_1+a_0\\
=(q_{N-1}a_{N-1}+a_{N-1})+\dots +(q_1a_1+a_1)+a_0\\
=(q_{N-1}a_{N-1}+\dots +q_1a_1)+(a_{N-1}+\dots +a_0)$
となります。
ただし、$q_k$ は、$9$ を $k$ 個並べた数です。

$(q_{N-1}a_{N-1}+\dots +q_1a_1)$ の部分は必ず３の倍数（もっと言うと９の倍数）なので、
各桁の和 $(a_{N-1}+\dots +a_0)$ が３の倍数となるなら、
もとの数 $10^{N-1}a_{N-1}+\dots +10a_1+a_0$ も３の倍数となる
ことが分かります。

次回は 直角三角形で、3辺の比が整数になる例25個と作り方 を解説します。