各桁の和が3の倍数なら3の倍数、の証明

3の倍数の判定法:
各桁の和が3の倍数なら、その数自身も3の倍数。

3の倍数の判定法とは

$123$ という数は3の倍数でしょうか?

$1+2+3=6$ です。6は3の倍数なので、もとの数 $123$ も3の倍数であることが分かります。
このように、各桁の和を計算することで、もとの数 $123$ を直接わり算しなくても、$123$ が3の倍数なのかどうかを、素早く知ることができます。

3の倍数の判定法を証明してみましょう。

3桁の場合の証明

まずは、3桁の場合について証明してみます。3桁の場合が理解できれば、一般の場合もほとんど同じです。

3桁の数は、
$1$ の位を $a_0$、
$10$ の位を $a_1$、
$100$ の位を $a_2$
とおくと、

$100a_2+10a_1+a_0$
と表すことができます。

これを変形していくと、
$100a_2+10a_1+a_0\\
=(99a_2+a_2)+(9a_1+a_1)+a_0\\
=(99a_2+9a_1)+(a_2+a_1+a_0)\\
=3(33a_2+3a_1)+(a_2+a_1+a_0)$
となります。

$3(33a_2+3a_1)$ の部分は必ず3の倍数なので、
各桁の和 $(a_2+a_1+a_0)$ が3の倍数となるなら、
もとの数 $100a_2+10a_1+a_0$ も3の倍数となる

ことが分かります。

一般の場合の証明

$N$ 桁の数についても、同様に証明できます。

$N$ 桁の数は、
$1$ の位を $a_0$、
$10$ の位を $a_1$、
$\vdots$
$10^{N-1}$ の位を $a_{N-1}$
とおくと、

$10^{N-1}a_{N-1}+\dots +10a_1+a_0$
と表すことができます。

これを変形していくと、
$10^{N-1}a_{N-1}+\dots +10a_1+a_0\\
=(q_{N-1}a_{N-1}+a_{N-1})+\dots +(q_1a_1+a_1)+a_0\\
=(q_{N-1}a_{N-1}+\dots +q_1a_1)+(a_{N-1}+\dots +a_0)$
となります。
ただし、$q_k$ は、$9$ を $k$ 個並べた数です。

$(q_{N-1}a_{N-1}+\dots +q_1a_1)$ の部分は必ず3の倍数(もっと言うと9の倍数)なので、
各桁の和 $(a_{N-1}+\dots +a_0)$ が3の倍数となるなら、
もとの数 $10^{N-1}a_{N-1}+\dots +10a_1+a_0$ も3の倍数となる

ことが分かります。

逆に「各桁の和が3の倍数でないなら、もとの数も3の倍数でない」ということも、同じ式から分かります。

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