ベン図の意味と覚えておくべき事まとめ

ベン図とは、複数の集合の関係を図として表したものです。英語では、Venn diagram と言います。

このページでは、ベン図の意味と具体例を解説します。また、3つの集合のベン図についても紹介します。

ベン図とは

ベン図とは、複数の集合の関係を図として表したものです。例えば、1から9までの範囲で、
$A$ を2の倍数の集合
$B$ を3の倍数の集合
としてみます。このとき、ベン図は図のようになります。

ベン図の例

集合 $A$ が左の円に対応し、集合 $B$ が右の円に対応します。このように、2つの集合の関係を表すベン図では、2つの円を交わるように書きます。

ベン図といろいろな集合

さきほどのベン図について、もう少し詳しく見ていきます。

ベン図における共通部分

ベン図において、2つの円が重なる部分は
「$A$ と $B$ の両方ともに属する要素」
に対応します。

このような要素を集めた集合を共通部分と言い、$A\cap B$ という記号で表します。

ベン図の共通部分

例えば、さきほどの例では $6$ は $2$ の倍数かつ $3$ の倍数なので、共通部分の要素になります。

ベン図における和集合

ベン図において、2つの円のどちらかに属する部分は
「$A$ と $B$ の少なくとも1つには属する要素」
に対応します。

このような要素を集めた集合を和集合と言い、$A\cup B$ という記号で表します。

ベン図の和集合

例えば、さきほどの例では和集合は、
$A\cup B=\{2,3,4,6,8,9\}$
になります。

ベン図を使った問題の例

ベン図に慣れるために、ベン図を使った問題を解いてみましょう。

クラスの中で、数学が得意な人が $20$ 人、国語が得意な人が $15$ 人います。また、両方とも得意な人が $8$ 人います。「数学か国語の少なくとも1つは得意な人」は何人いるでしょうか。

まずは、ベン図を書いてみましょう。

ベン図を使った問題の例

「数学が得意だけど、国語は苦手な人」の人数は、$20-8=12$
「国語が得意だけど、数学は苦手な人」の人数は $15-8=7$
です。これをベン図に書き込んでみます。

ベン図を使った問題の解答

よって、
「数学か国語の少なくとも1つは得意な人」の人数は、
$12+8+7=27$
となります。

3つの集合のベン図

2つの集合の関係を表すベン図は「2つの円」で表現できました。

同様に、3つの集合の関係を表すベン図は「3つの円」で表現されます。

3つの集合のベン図

一般的には、図のように、それぞれが重なり合う3つの円で表現される場合が多いです。3つの集合の共通部分が存在しない場合は、重なる部分がないような図になることもあります。

次回は 和集合と積集合の意味と公式 を解説します。

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