直積集合の意味と性質

※直積集合は、デカルト積、Cartesian product とも呼ばれます。

簡単な具体例

例えば、$A=\{1,2\}$、$B=\{3,4,5\}$ のとき、
$A\times B$$=\{(1,3),(1,4),(1,5)$$,(2,3),(2,4),(2,5)\}$
となります。
$A$ の要素と $B$ の要素を1つずつ取ってきて作ったペアを全て集めた集合です。

また、$A=\{1,2\}$、$B=\{1,2,3\}$ のとき、
$A\times B$$=\{(1,1),(1,2),(1,3)$$,(2,1),(2,2),(2,3)\}$
となります。$(1,2)$ と $(2,1)$ は別の要素であることに注意してください（順序が違えば別物とみなす）。

直積集合の性質

上の例から分かるように、直積集合 $A\times B$ の要素数は $A$ の要素数と $B$ の要素数の積になります。つまり、$|A\times B|=|A|\times |B|$ が成立します。
確かにかけ算っぽいですね。直「積」と呼ばれる理由が分かります。

直積は順番も大事です。$A\times B$ と $B\times A$ は一般には異なります。
例えば、$A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$ のとき、
$A\times B$$=\{(1,2),(1,3)$$,(2,2),(2,3)\}$
$B\times A$$=\{(2,1),(2,2)$$,(3,1),(3,2)\}$
です。全然違う集合です。

直積集合の応用例

例１：
$xy$ 座標平面は、実数2つのペアの集合と考えることができます。つまり、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の直積：$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$（$\mathbb{R}^2$ とも書く）と表現することができます。

例２：
$xyz$ 座標空間は、実数3つのペアの集合と考えることができます。つまり、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の3つの直積：$\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ （$\mathbb{R}^3$ とも書く）と表現することができます。

例３：
トーラスという立体（ドーナツの表面部分）は、単位円 $S^1$ の直積：$S^1\times S^1$と表現することができます。ドーナツを食べるときは、想像してみてください。

次回は 単射、全射、全単射の意味と覚え方など を解説します。