直積集合の意味と性質

二つの集合 $A$ と $B$ に対して
$\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$
($A$ の要素と $B$ の要素を1つずつ取ってきて作ったペアを全て集めた集合)
を直積集合と言う。

※直積集合は、デカルト積、Cartesian product とも呼ばれます。

簡単な具体例

集合 $A$ と $B$ の直積は、$A\times B$ という記号で表します。

例えば、$A=\{1,2\}$、$B=\{3,4,5\}$ のとき、
$A\times B$$=\{(1,3),(1,4),(1,5)$$,(2,3),(2,4),(2,5)\}$
となります。
$A$ の要素と $B$ の要素を1つずつ取ってきて作ったペアを全て集めた集合です。

また、$A=\{1,2\}$、$B=\{1,2,3\}$ のとき、
$A\times B$$=\{(1,1),(1,2),(1,3)$$,(2,1),(2,2),(2,3)\}$
となります。$(1,2)$ と $(2,1)$ は別の要素であることに注意してください(順序が違えば別物とみなす)。

直積集合の性質

上の例から分かるように、直積集合 $A\times B$ の要素数は $A$ の要素数と $B$ の要素数の積になります。つまり、$|A\times B|=|A|\times |B|$ が成立します。
確かにかけ算っぽいですね。直「積」と呼ばれる理由が分かります。

直積は順番も大事です。$A\times B$ と $B\times A$ は一般には異なります。
例えば、$A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$ のとき、
$A\times B$$=\{(1,2),(1,3)$$,(2,2),(2,3)\}$
$B\times A$$=\{(2,1),(2,2)$$,(3,1),(3,2)\}$
です。全然違う集合です。

直積集合の応用例

直積の考え方を使うと、複雑な集合を簡潔に表現することができます。

例1:
$xy$ 座標平面は、実数2つのペアの集合と考えることができます。つまり、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の直積:$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$($\mathbb{R}^2$ とも書く)と表現することができます。

例2:
$xyz$ 座標空間は、実数3つのペアの集合と考えることができます。つまり、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の3つの直積:$\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ ($\mathbb{R}^3$ とも書く)と表現することができます。

例3:
トーラスという立体(ドーナツの表面部分)は、単位円 $S^1$ の直積:$S^1\times S^1$と表現することができます。ドーナツを食べるときは、想像してみてください。

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