オッズとオッズ比の意味

オッズの定義と具体的な意味を解説します。また、オッズ比や対数オッズについても紹介します。

オッズとは

「オッズ」という言葉は、以下の2つの意味で使われることがあります。

オッズの意味1
「起こる確率」÷「起こらない確率」のことをオッズと言います。つまり、確率 $p$ で起こる事象に対して、$\dfrac{p}{1-p}$ のことをオッズと言います。

オッズの意味2
「勝負して買ったら $x$ 倍になるような賭け」
つまり
「勝負して負けたら1円失い、買ったら $x$ 円もらえる」
ような状況のことをオッズが $x$ である、と言うことがあります。

オッズの2つの意味の関係

オッズの意味1オッズの意味2には、以下のような関係があります。

「確率 $p$ に対応するオッズ(意味1)は、負ける確率が $p$ であるような勝負におけるオッズ(意味2)と等しい」

上の主張を確認するために、負ける確率が $p$ であるような(平等な)勝負におけるオッズ(意味2)を計算してみましょう。

「勝負して負けたら1円失い、買ったら $x$ 円もらえる」とき、もらえる額の期待値は、
$xp-(1-p)$
です。平等な勝負ではこれが $0$ になるので、$x=\dfrac{p}{1-p}$ となります。

オッズの最大値・最小値

オッズ $\dfrac{p}{1-p}$ の最小値は $0$ です。最大値は存在しません(どこまでも大きくなることがあります)。

実際、
・$p=0$ のとき、オッズは $0$ です。
・$p=0.5$ のとき、オッズは $1$ です。
・$p\to\infty$ のとき、オッズは限りなく大きくなります。
($p=1$ のときオッズは定義できません)

確率 $p$ が大きくなるほど、オッズは大きくなります。

オッズ比とは

オッズ比とは、オッズの比率です。

つまり、確率 $p$ で起こる事象と、確率 $q$ で起こる事象に対して、
$\dfrac{p}{1-p}\div\dfrac{q}{1-q}=\dfrac{p(1-q)}{q(1-p)}$
のことをオッズ比と言います。

オッズ自体が、確率の比で定義されるので、少し紛らわしいです。オッズ比は「オッズの比」つまり「確率の比の比」です。

対数オッズ、対数オッズ比

オッズの対数を取ったもの:
$\log\left(\dfrac{p}{1-p}\right)$
のことを対数オッズと言います。

対数オッズを関数とみなしたものがロジット関数です。ロジスティック回帰などに登場します。
ロジット関数とロジスティック関数

また、オッズ比の対数を取ったもの:
$\log\left(\dfrac{p}{1-p}\cdot\dfrac{1-q}{q}\right)$
のことを対数オッズ比と言います。

次回は 多項式カーネルと、対応する特徴ベクトル を解説します。

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