逆、裏、対偶の意味と具体例

逆、裏、対偶

「$p$ ならば $q$」に対して
:「$q$ ならば $p$」(仮定と結論を入れ替えたもの)
:「$p$ でないならば $q$ でない」(それぞれ否定したもの)
対偶:「$q$ でないならば $p$ でない」(入れ替えてそれぞれ否定したもの)
と言う。

~目次~
・数学における具体例
・日常会話における具体例
・もとの命題と対偶の真偽は一致する

数学における具体例

例題1「$x\geq 2$ なら $x^2\geq 4$」の逆、裏、対偶を述べよ。また、逆、裏、対偶がそれぞれ正しいかどうか考えよ。

解答

$x$ が $2$ 以上なら、$x^2$ は $4$ 以上なので、もとの主張は正しいですね。


逆は仮定と結論を入れ替えるので「$x^2\geq 4$ なら $x\geq 2$」です。この主張は間違いです。なぜなら、例えば $x=-3$ とすると、$x^2\geq 4$ ですが $x\geq 2$ ではありません。


裏は仮定と結論を否定するので「$x <2$ なら $x^2 < 4$」です。この主張は間違いです。なぜなら、例えば $x=-3$ とすると、$x <2$ ですが $x^2 < 4$ ではありません。

対偶
対偶は入れ替えてひっくり返すので「$x^2 < 4$ なら $x < 2$」です。この命題は真です。

日常会話における具体例

例題2「休日はお客さんが少ない」の逆、裏、対偶を述べよ。また「休日はお客さんが少ない」という主張が正しいとき、逆、裏、対偶がそれぞれ正しいかどうか考えよ。

解答

もとの主張は「休日ならお客さんが少ない」です。$p$「休日」 $q$「お客さんが少ない」です。


逆は仮定と結論を入れ替えるので「お客さんが少ないなら休日」です。平日もお客さんが少ないかもしれないので、この主張は正しいかどうかは分かりません。


裏は仮定と結論を否定するので「平日ならお客さんが多い」です。平日もお客さんが少ないかもしれないので、この主張は正しいかどうかは分かりません。

対偶
対偶は入れ替えてひっくり返すので「お客さんが多いなら平日」です。休日はお客さんが少ないとき、この対偶の主張も正しいことになります。

もとの命題と対偶の真偽は一致する

・上の具体例からなんとなく分かるように、もとの命題が真なら、その対偶も真です。もとの命題が偽なら、その対偶も偽です。

逆、裏、対偶

・図において逆は横移動、裏は縦移動、対偶は斜め移動です。つまり、逆の裏は対偶です。また、「対偶の逆は裏」「対偶の裏は逆」なども成り立ちます。

・日常会話では「その命題は真だ」などと言うとかしこまって聞こえるので、「その主張は正しい」くらいの言い方の方がよい気がします。

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