同時分布、周辺分布、条件付き分布の意味と例

同時分布の例

２つの確率変数 $X$、$Y$ のとる値の全てのペアに対しての確率を表したものが同時分布（結合分布、同時確率分布）です。

例えば、グー、チョキー、パーをランダムで出すジャンケンマシーンを2回動かしたとき、
$X$：グーを出した回数
$Y$：チョキを出した回数
としてみます。

このとき、$X$ と $Y$ の値のペアに対して、それが起こる確率は図のようになります。これを $X$ と $Y$ の関数とみなしたものが同時分布 $P_{X,Y}(x,y)$ です。
例えば、グーが2回連続で出る確率は $\dfrac{1}{9}$ なので、
$P_{X,Y}(2,0)=\dfrac{1}{9}$ です。

周辺分布の例

例えば、ジャンケンマシーンの例で、
$X$：グーを出す回数 には興味があるが、
$Y$：チョキを出す回数
には興味がないときには、図の青い部分だけ分かれば十分です。これが周辺分布です。

このように、同時分布（情報は多いけど興味のない変数も含まれている）から周辺分布（興味がある変数の情報だけを取り出したもの）を求めることを周辺化と言います。

具体的には、$P_X(x)=\displaystyle\sum_{y=0}^2P_{X,Y}(x,y)$
のように興味がない確率変数について、和を取ることで周辺分布を得ることができます。

$\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{4}{9}$
のような感じです。

条件付き分布の例

例えば、ジャンケンマシーンの例で、
$Y$：チョキを出した回数 が $1$ 回
ということが分かってしまえば、同時分布（表全体）のうち必要なのは図の赤い部分だけです。

これが条件つき分布 $P_{X\mid Y}(x\mid 1)$ です。

連続分布の場合

・同時確率密度関数：$f_{X,Y}(x,y)$ は2変数関数になります。
$a\leq X\leq b$ かつ $c\leq Y\leq d$ となる確率は、
$\displaystyle\int_a^bdx\int_c^ddyf_{X,Y}(x,y)$
となります。

・周辺分布の密度関数は、同時確率密度関数を「足し上げたもの」つまり、積分になります：
$f_X(x)=\displaystyle\int f_{X,Y}(x,y)dy$
$f_Y(y)=\displaystyle\int f_{X,Y}(x,y)dx$

・条件つき分布の密度関数は、単純に一部の変数に値を代入したものです：
$f_{X\mid Y}(x\mid 2)=f_{X,Y}(x,2)$
のような感じです。

次回は 条件付き独立の意味と例 を解説します。