数字の $2$ が書かれたカードが $2$ 枚，同様に，数字の $0,1,8$ が書かれたカードがそれぞれ $2$ 枚，あわせて $8$ 枚のカードがある。これらから $4$ 枚を取り出し，横一列に並べてできる自然数を $n$ とする。ただし，$0$ のカードが左から $1$ 枚または $2$ 枚現れる場合は，$n$ はそれぞれ $3$ 桁または $2$ 桁の自然数と考える。例えば，左から順に $0,0,1,1$ の数字のカードが並ぶ場合の $n$ は $11$ である。
(1) $a,b,c,d$ は整数とする。$1000a+100b+10c+d$ が $9$ の倍数になることと $a+b+c+d$ が $9$ の倍数になることは同値であることを示せ。
(2) $n$ が $9$ の倍数である確率を求めよ。
(3) $n$ が偶数であったとき，$n$ が $9$ の倍数である確率を求めよ。
2018年 北海道大学（前期・理系）第3問 解答とポイント
$9$ の倍数判定を使って，まず「選ばれた4枚の数字の和」が $9$ の倍数になる条件に言い換える。
その上で確率を数えるときは，同じ数字でもカードは別物として区別して数えるのがポイントである。
全事象は，$8$ 枚のカードから $4$ 枚を順に並べるので
$$
{}_8\mathrm{P}_4=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680
$$
通りである。
(1)
$$
\begin{aligned}
1000a+100b+10c+d
&=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d).
\end{aligned}
$$
ここで
$$
999a+99b+9c=9(111a+11b+c)
$$
は $9$ の倍数である。
したがって，
$$
1000a+100b+10c+d
$$
と
$$
a+b+c+d
$$
との差は $9$ の倍数であるから，
$$
1000a+100b+10c+d \text{ が } 9\text{ の倍数}
$$
であることと
$$
a+b+c+d \text{ が } 9\text{ の倍数}
$$
であることは同値である。
(2)
(1)より，$n$ が $9$ の倍数であるための必要十分条件は，選ばれた4枚の数字の和が $9$ の倍数であることである。
使える数字は $0,1,2,8$ がそれぞれ2枚ずつなので，
4枚の和が $9$ または $18$ になる場合を調べる。
条件を満たす数字の組は
$$
0018,\quad 0288,\quad 1188
$$
の3通りである。
それぞれの場合の数を数える。
(ア) $0018$ のとき
$1$ のカードの選び方が $2$ 通り，$8$ のカードの選び方が $2$ 通り，
並べ方が $4!$ 通りあるので
$$
2\cdot2\cdot4!=96 \text{ 通り}
$$
である。
(イ) $0288$ のとき
$0$ のカードの選び方が $2$ 通り，$2$ のカードの選び方が $2$ 通り，
並べ方が $4!$ 通りあるので
$$
2\cdot2\cdot4!=96 \text{ 通り}
$$
である。
(ウ) $1188$ のとき
使う4枚は決まっており，並べ方だけ考えればよいから
$$
4!=24 \text{ 通り}
$$
である。
よって，$n$ が $9$ の倍数である場合の数は
$$
96+96+24=216
$$
通り。
したがって求める確率は
$$
\frac{216}{1680}=\frac{9}{70}.
$$
(3)
条件付き確率
$$
P(nが9の倍数\mid nが偶数)
=\frac{P(nが9の倍数かつ偶数)}{P(nが偶数)}
$$
を求めればよい。
まず，$n$ が偶数である場合の数を求める。
$n$ が奇数であるのは，一の位が $1$ のときに限る。
一の位に置く $1$ のカードの選び方が $2$ 通り，
残り3か所の並べ方が
$$
{}_7\mathrm{P}_3=7\cdot6\cdot5=210
$$
通りあるので，
奇数の場合の数は
$$
2\cdot210=420
$$
通り。
したがって偶数の場合の数は
$$
1680-420=1260
$$
通りである。
次に，$n$ が $9$ の倍数かつ偶数である場合の数を求める。
(ア) $0018$ のとき
一の位が偶数なので，一の位は $0,0,8$ のいずれかである。
4枚を区別して考えると，各 $1,8$ の選び方に対して
– 一の位を $8$ にする方法が $3!$ 通り
– 一の位を $0$ にする方法が $2\cdot3!$ 通り
あるから，合計
$$
3!+2\cdot3!=18 \text{ 通り}
$$
である。
さらに $1$ の選び方が $2$ 通り，$8$ の選び方が $2$ 通りあるので
$$
18\cdot2\cdot2=72 \text{ 通り}
$$
である。
(イ) $0288$ のとき
どの並べ方でも一の位は偶数なので，
場合の数はそのまま
$$
2\cdot2\cdot4!=96 \text{ 通り}
$$
である。
(ウ) $1188$ のとき
一の位は $8$ でなければならない。
一の位に置く $8$ の選び方が $2$ 通り，
残り3枚の並べ方が $3!$ 通りあるので
$$
2\cdot3!=12 \text{ 通り}
$$
である。
よって，$n$ が $9$ の倍数かつ偶数である場合の数は
$$
72+96+12=180
$$
通り。
したがって求める確率は
$$
\frac{180}{1260}=\frac{1}{7}.
$$
答え（数値のみ）
$$
(2)\ \frac{9}{70}
\qquad
(3)\ \frac{1}{7}
$$
ポイントまとめ
– $9$ の倍数判定より，「数そのもの」ではなく「各位の和」を見ればよい。
– 確率を数えるときは，同じ数字でもカードは区別して数える。
– (2)では和が $9,18$ になる組 $0018,0288,1188$ を漏れなく見つける。
– (3)は条件付き確率なので，
$$
\frac{P(9の倍数かつ偶数)}{P(偶数)}
$$
で処理する。
– 偶数の総数は，奇数（一の位が $1$）を全体から引くと速い。
